Question

13．在?ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB边的延长线于点F．
（1）如图1，求证：BF=AB；
（2）如图2，G是AB边的中点，连接DG并延长，交CB边的延长线于点H，若四边形ABCD为菱形，试判断∠H与∠F的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质推出DC=AB，DC∥AB，得出∠C=∠EBF，∠CDE=∠F，根据AAS证△CDE≌△BFE即可；
（2）根据菱形的性质推出AD=CD，AG=CE，∠A=∠C，推出△ADG≌△CDE，得出∠CDE=∠ADG，根据平行线性质推出∠CDE=∠F，∠ADH=∠H，即可得到答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠C=∠EBF，∠CDE=∠F，
又∵E是CB的中点，
∴CE=BE，
在△CDE和△BFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠F}\\{∠C=∠EBF}\\{EC=BE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴BF=DC，
∴BF=AB；

（2）∠F=∠H，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADH=∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C，
∵E、G分别是CB、AB的中点，
∴AG=CE，
在△ADG和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠A=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠CDE=∠ADG，
∴∠H=∠F．

点评 本题考查了平行线的性质，平行四边形性质，菱形性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要培养了学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度也适中．