Question

【题目】在正方形ABCD中，

（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF=90°．求证：AE=BF．
（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∵∠AOF=90°，

∴∠BAE+∠OBA=90°，

又∵∠FBC+∠OBA=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中

∵ ，

∴△ABE≌△BCF（ASA）．

∴AE=BF．

（2）

解：由折叠的性质得EF⊥AM，

过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，

则∠ADM=∠FHE=90°，

∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°，

∴∠POF=∠AOH=∠AMD，

又∵EF⊥AM，

∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°，

∴∠POF=∠FEH，

∴∠FEH=∠AMD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=FH=5，

在△ADM和△FHE中，

∵ ，

∴△ADM≌△FHE（AAS），

∴EF=AM= = =

【解析】（1）由正方形的性质得AB=BC、∠ABE=∠BCF=90°，由∠AOF=90°得∠BAE=∠CBF，再证△ABE≌△BCF即可得；（2）作FH⊥AD，结合折叠性质：EF⊥AM，证∠POF=∠AOH=∠AMD=∠FEH，再证△ADM≌△FHE得EF=AM= ．