Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示），那么，在上述旋转过程中：
（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，设BH=x．当△CKH的面积为时，求出x的值．

Answer 1

解：（1）线段BH=CK；四边形CHOK的面积等于4．理由如下：
连结OC，如图，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，
∴∠COK=∠BOH=α，
∵在△COK和△BOH中，

∴△COK≌△BOH，
∴CK=BH，S_△COK=S_△BOH，
∴四边形CHOK的面积=S_△COB=S_△ABC=×4×4=4；

（2）∵BH=x，
∴CK=x，CH=4-x，
∴x（4-x）=，
解得x₁=1，x₂=3，
∴x的值为1或3．
分析：（1）连结OC，由于∠ACB=90°，AC=BC=4，根据等腰直角三角形的性质得∠B=95°，再根据O为AB的中点得到OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，根据旋转的性质得∠COK=∠BOH=α，于是可根据“SAS”判断△COK≌△BOH，所以CK=BH，S_△COK=S_△BOH，则可计算出四边形CHOK的面积=S_△COB=S_△ABC=4；
（2）利用CK=BH，则CK=x，CH=4-x，根据三角形面积公式得到∴x（4-x）=，然后解一元二次方程即可．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及三角形全等的判定与性质．