【题目】在数学活动课上,数学老师出示了如下题目:
如图①,在四边形中,是边的中点,是的平分线,.
求证:.
小聪同学发现以下两种方法:
方法1:如图②,延长、交于点.
方法2:如图③,在上取一点,使,连接、.
(1)请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程;
(2)如图④,在四边形中,是的平分线,是边的中点,,,求证:.
【答案】(1)方法1:证明见解析;方法2:证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)方法1:先根据角平分线的定义、平行线的性质得出,再根据等腰三角形的性质可得,根据三角形全等的判定定理与性质得出,然后根据线段的和差即可得证;
方法2:先根据角平分线的定义得出,再根据三角形全等的判定定理与性质可得,然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得,最后根据平行线的性质、平角的定义可得,由等腰三角形的定义可得,由此根据线段的和差即可得证;
(2)如图(见解析),参照方法1构造辅助线,先根据等腰三角形的性质得出平分,从而有,再根据平行线的性质、角的和差得出,,然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证.
(1)方法1:如图②,延长、交于点
是的平分线
是边的中点
在和中,
;
方法2:如图③,在上取一点,使,连接、
是的平分线
在和中,
是边的中点
,即
,即
又
;
(2)如图,过点C作,交AE延长线于点G,延长GC交AB于点F,连接EF
由方法1可知:
是等腰三角形
平分
,
,即
在和中,
.
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【题目】如图,△ABC 中,∠BAC=9 0°,AB=3,AC=4,点 D 是 BC 的中点,将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED,连 CE,则线段 CE 的长等于( )
A. 2 B. C. D.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,点B的坐标为(6,8),动点D、E分别从点B、A同时出发,沿射线BA运动,点D、E的运动速度均为每秒2个单位,设D、E的运动时间为t秒.连接OD、CE交于点F.
(1)如图1,求点F的纵坐标;
(2)若点G为OA的中点,在点D、E运动过程中,设△GEF的面积为y,求y与t的关系式;
(3)在(2)的条件下,连接BG,线段BG、OD交于点K,若,坐标平面内是否存在点M,使以D、E、K、M为顶点的四边形为平行四边形,如果存在,请求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,且∠A=∠D.
(1)求∠ACD的度数;
(2)若CD=3,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图所示,直线AB交x轴于点A(,0),交y轴于点B(0,),且.b满足
(1)求证:OA=OB;
(2)如图1,若C的坐标为(-1,0),且AH⊥BC于点H,AH交OB于点P,试求点P的坐标;
(3)如图2,连接OH,求证:∠OHP=45°.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,与x轴交于点C,则此一次函数的解析式为__________,△AOC的面积为_________.
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【题目】“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?
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【题目】(2017江苏省连云港市)如图,已知等边三角形OAB与反比例函数(k>0,x>0)的图象交于A、B两点,将△OAB沿直线OB翻折,得到△OCB,点A的对应点为点C,线段CB交x轴于点D,则的值为____.(已知sin15°=)
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