Question

小明想用一块三角形废料截取一个正方形，如图所示，操作如下：过AB上点D作DE⊥BC，以DE为边作正方形DEFG，随后他又改变了主意，想尽可能的利用废料，在△ABC内部截一个正方形，使一边在BC上，另外两点位于AB、AC上，利用你所学知识，帮他画出来．
（1）在小明作图的基础上作出正方形，简述作法；
（2）证明你所作的四边形是正方形；
（3）若BC=120cm，BC边上的高为80cm，求所作正方形的边长．

Answer 1

（1）解：位似画法，
连接BG并延长到△ABC的边AC上一点N，过点N做MN∥BC，交边AB于一点M，过点M做MT⊥BC于点T，过点N做NK⊥BC于一点k，所得图形就是所要正方形．

（2）证明：点D与M；点E与T；点G与N；点F与K；相交于一点，
而且MN∥DG，NK∥GF；DE∥MT；FE与TK在一条直线上，
所以正方形DEFG与四边形MTKN是位似图形，
所以四边形MTKN是正方形．

（3）解：假设正方形边长为x厘米，过点A，做AS⊥BC，交MN于点P，交BC于点S，
在△ABC中可得：

∵BC=120cm，BC边上的高为80cm，
∴AS=80cm，MN=x cm，AP=（80-x）cm代入上式得：

解得：x=48cm
答：正方形的边长是48cm．
分析：（1）根据在△ABC内部截一个正方形，由原正方形与所画正方形位置关系可以判断出，需要做原正方形的位似图形，
（2）证明所画图形是正方形可以证明它们是位似图形，
（3）利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出，注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．
点评：此题主要考查了位似图形的画法，以及位似图形的判定方法，以及相似三角形中对应高与相似比的关系，题目比较新颖．