【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过原点;②4a+b+c=0;③a﹣b+c<0;④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤当x<2时,y随x增大而增大.其中结论正确的是( )
A.①②③B.①②④C.①④⑤D.③④⑤
【答案】B
【解析】
根据题意和二次函数的性质可以判断各个小题是否成立,从而可以解答本题.
①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0),结论①正确;
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点,∴﹣=2,c=0,∴b=﹣4a,c=0,∴4a+b+c=0,结论②正确;
③∵当x=﹣1和x=5时,y值相同,且均为正,∴a﹣b+c>0,结论③错误;
④当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,∴抛物线的顶点坐标为(2,b),结论④正确;
⑤观察函数图象可知:当x<2时,y随x增大而减小,结论⑤错误.
综上所述:正确的结论有:①②④.
故选B.
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【题目】如图1,在正方形中,对角线与相交于点,平分,交于点.
(1).求证:;
(2).点从点出发,沿着线段向点运动(不与点重合),同时点从点出发,沿着的延长线运动,点与的运动速度相同,当动点停止运动时,另一动点也随之停止运动.如图2,平分,交于点,过点作,垂足为,请猜想,与三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3).在(2)的条件下,当,时,求的长.
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【题目】如图,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列各式正确的是( )①AD2=BDDC;②CD2=CFCA;③DE2=AEAB;④AEAB=AFAC.
A.①②B.①③C.②④D.③④
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【题目】我们知道:任何有理数的平方都是一个非负数,即对于任何有理数a,都有a2≥0成立,所以,当a=0时,a2有最小值0.
(应用):(1)代数式(x-1)2有最小值时,x=___1;
(2)代数式m2+3的最小值是____3;
(探究):求代数式n2+4n+9的最小值,小明是这样做的:
n2+4n+9
=n2+4n+4+5
=(n+2)2+5
∴当n=-2时,代数式n2+4n+9有最小值,最小值为5.
请你参照小明的方法,求代数式a2-6a-3的最小值,并求此时a的值.
(拓展):(3)代数式m2+n2-8m+2n+17=0,求m+n的值.
(4)若y=-4t2+12t+6,直接写出y的取值范围.
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【题目】已知△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点A在直线DE上,过C点作CF⊥DE于F,过B点作BG⊥DE于G.
(1)发现问题:如图1,当B、C两点均在直线DE上方时,线段AG、BG和CF存在的数量关系是 .
(2)类比探究:当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时,线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化?如果不变,请说明理由;如果变化,请写出你的猜想,并给予证明;
(3)拓展延伸:当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时,若CF=1,AG=2,请直接写出△ABC的面积.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】端午节那天,小贤回家看到桌上有一盘粽子,其中有豆沙粽、肉粽各1个,蜜枣粽2个,这些粽子除馅外无其他差别.
(1)小贤随机地从盘中取出一个粽子,取出的是肉粽的概率是多少?
(2)小贤随机地从盘中取出两个粽子,试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出小贤取出蜜枣粽的概率.
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