Question

如图，⊙O的圆心在坐标原点，⊙O与x轴正半轴交于点B，延长OB至点A使AB=OB，过点A作⊙O的切线AC，切点为C，P为⊙O上一点（不在弧BC上），则cos∠BPC的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用切线的性质、30度角所对直角边是斜边的一半证得∠CAO=30°，则易求∠COA=60°；然后利用圆周角定理推知∠BPC=∠BOC=30°，从而求得cos∠BPC的值．
解答：解：如图，连接OC．
∵AC是⊙O的切线，点C是切点，
∴∠ACO=90°．
∵OC=OB，OB=AB，
∴OC=OA，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOC=60°．
∴∠BPC=∠BOC=30°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴cos∠BPC=cos∠30°=；
故选C．
点评：本题综合考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．