Question

如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，BD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：BC平分∠DBA；
（2）若CD=6，BC=10，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，求出OC∥BD，推出∠CBA=∠DBC，根据角平分线定义得出即可；
（2）连接AC，根据勾股定理求出BD，证△ACB∽△CDB，得出比例式，代入后求出AB即可．

解答：（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DC，
∴OC∥BD，
∴∠DBC=∠BCO，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠DBC=∠CBO，
即BC平分∠DBA；

（2）解：连接AC，
在Rt△CBD中，BD=

102-62

=8，
∵AB为直径，C在圆上，
∴∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠BCA，
∵∠DBC=∠ABC，
∴△ABC∽△CBD，
∴

BC

BD

=

AB

BC

，
∴

10

8

=

AB

10

，
∴AB=

25

2

，
即⊙O的半径为

25

4

．

点评：本题考查了勾股定理，切线的性质，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．