Question

15．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，已知AB=3，AD=4，求△AEO的面积．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出∠BAD=90°，OA=OC=OB=OD，求出S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3，由勾股定理求出AC、BD长，求出OA长，根据面积公式求出AE，根据勾股定理求出OE即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×3×4=3，
由勾股定理得：AC=BD=5，
∴OA=OB=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×AE=3，
解得：AE=$\frac{12}{5}$，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（{\frac{12}{5}）}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∴△AEO的面积是$\frac{1}{2}$×OE×AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{10}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{21}{25}$．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，解此题的关键是能求出AE的长，注意：矩形的对角线相等且互相平分．