Question

10．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，P是CD上一点，BH⊥AP于H，BH=BC=CD
（1）求证：∠ABP=45°；
（2）若BC=20，PC=12，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）如图，作BE⊥DA于E，只要证明△ABE≌△ABH，△PBH≌△PBC，推出∠ABE=∠ABH，∠PBH=∠PBC，由∠EBC=90°，推出2∠ABH+2∠PBH=90°，由此即可证明．
（2）首先证明AP=AE+PC，设PA=x，在Rt△ADP中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，作BE⊥DA于E，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠C=∠E=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=BC=BH，
∵BH⊥AP，
∴∠AHB=∠BHP=90°，
在Rt△ABE和Rt△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{BE=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ABH，
∴∠ABE=∠ABH，同理可证△PBH≌△PBC，
∴∠PBH=∠PBC，
∵∠EBC=90°，
∴2∠ABH+2∠PBH=90°，
∴∠ABH+∠PBH=45°，
∴∠ABP=45°．

（2）由（1）可知，四边形BCDE是矩形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDE是正方形，
∴BC=CD=DE=BE=20，
∵△ABE≌△ABH，△PBH≌△PBC，
∴AE=AH，PC=PH，
∴AP=AE+PC，设AP=x，
则AE=x-12，AD=20-（x-12）=32-x，PD=8，
在Rt△ADP中，∵AD²+DP²=AP²，
∴（32-x）²+8²=x²，
∴x=17，
∴AP=17．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．