Question

求使m²+m+8是完全平方数的所有整数m的积是多少？

Answer 1

分析：将m²+m+8表示为n²的形式，然后转化可得出（2m+2n+1）（2n-2m-1）=31，从而讨论可得出m的值，从而得到所有整数m的积．

解答：解：设 m²+m+8=n²（ n 是整数），
∴（m+

1

2

）²+

31

4

=n²，
（2m+1）²+31=4 n²，
∴（2 n+2 m+1）（2 n-2 m-1）=31，
因为n≥0（因为n²为完全平方数），且m与n都为整数，
所以①2m+2n+1=31，2n-2m-1=1，解得：m=7，n=8；
②2m+2n+1=1，2n-2m-1=31，解得：m=-8，n=8；
所以所有m的积为：7×（-8）=-56．
∴符合条件的 m 的值的积为-56．

点评：此题考查了完全平方数的知识，难度较大，关键是将m²+m+8表示为n²的形式，得到（2m+2n+1）（2n-2m-1）=31，同时也要掌握讨论法的运用．