Question

17．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：
x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：
（1）应用一：用来检验解方程是否正确．
本卷第19题中的第（2）题是：解方程x²-5x+3=0
检验：先求x₁+x₂=5，x₁x₂=3．
再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）
（2）应用二：用来求一些代数式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2=0的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）值；
②若m、n是方程x²+4x-2016=0的两个实数根，求代数式m²+5m+n的值．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=5、x₁x₂=3，此题得解；
（2）①根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=4、x₁x₂=2，将（x₁-1）（x₂-1）展开代入数值即可得出结论；
②根据根与系数的关系以及一元二次方程的解可得出m+n=-4、mn=-2016、m²+4m=2016，将其代入m²+5m+n中即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意，得：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=5，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=3．
故答案为：5；3．
（2）①∵x₁、x₂是方程x²-4x+2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=4，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2-4+1=-1；
②∵m、n是方程x²+4x-2016=0的两个实数根，
∴m+n=-4，mn=-2016，m²+4m=2016，
∴m²+5m+n=m²+4m+（m+n）=2016+（-4）=2012．

点评 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握“两根之和等于-$\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$”是解题的关键．