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二次函数图象过A、C、B三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),精英家教网点C在y轴正半轴上,且AB=OC.
(1)求C的坐标;
(2)求二次函数的解析式,并求出函数最大值.
分析:(1)根据A.B两点的坐标及点C在y轴正半轴上,且AB=OC.求出点C的坐标为(0,5);
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把A、B、C三点的坐标代入解析式,可求出a、b、c的值.
解答:解:(1)∵A(-1,0),B(4,0)
∴AO=1,OB=4,
AB=AO+OB=1+4=5,
∴OC=5,即点C的坐标为(0,5);

(2)解法1:设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由于这个函数图象过点(0,5),可以得到C=5,又由于该图象过点(-1,0),(4,0),则:
a-b+5=0
16a+4b+5=0

解方程组,得
a=-
5
4
b=
15
4

∴所求的函数解析式为y=-
5
4
x2+
15
4
x+5
∵a=-
5
4
<0
∴当x=-
15
4
2×(-
5
4
)
=
3
2
时,y有最大值
4ac-b2
4a
=
4×(-
5
4
)×5-(
15
4
)
2
4×(-
5
4
)
=
125
16


解法2:
设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a(x-4)(x+1)
∵点C(0,5)在图象上,
∴把C坐标代入得:5=a(0-4)(0+1),解得:a=-
5
4

∴所求的二次函数解析式为y=-
5
4
(x-4)(x+1)
∵点A,B的坐标分别是点A(-1,0),B(4,0),
∴线段AB的中点坐标为(
3
2
,0),即抛物线的对称轴为直线x=
3
2

∵a=-
5
4
<0
∴当x=
3
2
时,y有最大值y=-
5
4
(
3
2
-4)(
3
2
+1)
=
125
16
点评:解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,顶点坐标为x=-
b
2a
,y=
4ac-b2
4a
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3
2
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1
2
n2
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