Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高.

（1）求证：△ABC∽△ADC ；

（2）若关于x的一元二次方程mx²－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根，试求m的取值范围；

（3）若（2）中方程的两根恰好是Rt△ABC两个锐角的正弦值，求Rt△ABC的斜边与斜边上的高的比.

 

Answer 1

解：（1）证明：

 

             △ABC∽△ACD

（2）由于方程两个不相等的实数根，所以

>0-

即>0

解得：

（3）∵sinA和 sinB是方程的两根，可得

sinA+ sinB=；   

sinAsinB= .

∵sinB=cosA, 且  (sinA)²+( cosA)²=1，

∴ (sinA)²+(sinB)²=1

由（sinA+ sinB）²= (sinA)²+(sinB)² +2sinAsinB -

得：　 ()²=1+

化简得：m²+7m－8=0,  

∴m=1或 m=－8.

由sinA=,   sinB=.得：=.　

＝＝.

∴＝.

　当　m=1 时，没有意义；　当m=-8时，=. 

　即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9