Question

15．定义一种新运算：a*b=a+b+ab，则b*a=b+a+ba，而a+b+ab=b+a+ba，即a*b=b*a，所以我们说运算a*b=a+b+ab具有交换律．
（1）下列新运算具有交换律的有D
①a*b=a-b，
②a*b=a+b+1，
③a*b=-a-b，
④a*b=a²b+ab²．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
（2）证明：运算a*b=a+b+ab具有结合律，即（a*b）*c=a*（b*c）．
（3）计算：（2-$\sqrt{6}$）*（$\sqrt{2}$-2）*（2+$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．

解答 解：（1）①a*b=a-b，b*a=b-a，
②a*b=a+b+1，b*a=b+a+1，
∴a*b=b*a，
③a*b=-a-b，b*a=-b-a，
∴a*b=b*a，
④a*b=a²b+ab²，b*a=b²a+ba²，
∴a*b=b*a，
故选D；
（2）（a*b）*c=（a+b+ab）*c=a+b+ab+c+（a+b+ab）c=a+b+c+ab+bc+ac+abc，a*（b*c）=a*（b+c+bc）a+b+c+bc+a（b+c+bc）=a+b+c+ab+bc+ac+abc，
∴（a*b）*c=a*（b*c）；
（3）原式=（$\sqrt{2}$-2）*（2-$\sqrt{6}$）*（2+$\sqrt{6}$）=（$\sqrt{2}$-2）*[（2-$\sqrt{6}$）*（2+$\sqrt{6}$）]=（$\sqrt{2}$-2）*[2-$\sqrt{6}$+2+$\sqrt{6}$+（2-$\sqrt{6}$）（2+$\sqrt{6}$）]=（2-$\sqrt{2}$）*2=$\sqrt{2}$-2+2+2（$\sqrt{2}$-2）=3$\sqrt{2}$-4．

点评 此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．