Question

实践与探索
我们知道对于|x-2|，当x=2时有最小值0；那么对于|x-1|+|3-x|来说，当x取多少时，整个式子有最小值呢？我们不妨这样来考虑，先找零点1，3（即使x-1=0，3-x=0的值），再在同一数轴上表示出来，如

这样就可以得到x＜1，1≤x＜3，x＞3三种情况：
①当x＜1时，则x-1＜0，3-x＞0，即|x-1|+|3-x|=1-x+3-x=4-2x＞2；
②当1≤x＜3时，则x-1≥0，3-x＞0，即|x-1|+|3-x|=x-1+3-x=2；
③当x≥3时，则x-1＞0，3-x＜0，即|x-1|+|3-x|=x-1+x-3=2x-4＞2；
综上所述，当1≤x＜3时，|x-1|+|3-x|的最小值为2．
（1）请仿照上述过程求出|x+1|+|x-2|的最小值．
（2）试探索|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值．

Answer 1

分析：（1）分为三种情况：当x＜-1时，当-1≤x＜2时，当x≥2时去绝对值符号进行合并，即可得出答案；
（2）分为四种情况，去绝对值符号进行合并，即可得出答案．

解答：解：（1）∵①当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=1-2x＞3，
②当-1≤x＜2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3=3，
③当x≥2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1＞3，
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3．

（2）∵①当x＜-2时，|x-1|+|x+2|+|x-3|=1-x-x-2+3-x=2-3x＞8，
②当-2≤x＜1时，|x-1|+|x+2|+|x-3|=1-x+x+2+3-x=6-x，即5＜6-x≤8
③当1≤x＜3时，|x-1|+|x+2|+|x-3|=x-1+x+2+3-x=4+x，即5≤4+x＜7，
④当x≥3时，|x-1|+|x+2|+|x-3|=x-1+x+2+x-3=3x-2≥7，
∴|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值是5．

点评：本题考查了绝对值的应用，注意：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值式0，负数的绝对值等于它的相反数．