Question

7．如图，△ABC的外接圆为⊙O，I为△ABC的内心，∠ACB=50°，CI的延长线交⊙O于点D．
（1）求∠AOB及∠AIB的度数；
（2）若⊙O的半径为5，AD=5，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OI，延长OI交⊙O于点E，根据“同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”、“三角形的内外角之间的关系”、“三角形的内切圆与内心与三角形的外接圆与外心”
的性质分析求解即可．
（2）连接OD，先证明△OAD是等边三角形，再证明OD⊥AB，由等边三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）如下图所示：连接OC，OI，延长OI交⊙O于点E，

∵∠ACB 与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOB=2∠ACB=100°
∵△ABC的外接圆为⊙O，
∴OA=OB=OC，
∴x+y=∠ACB=50°…①
又∵I为△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠IBA=∠IBC，
∴α+β=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，
∴∠1+∠2=65°-50°=15°．
∴∠AIB=∠AOB+∠1+∠2=100°+15°=115°
即：∠AOB及∠AIB的度数分别为：100°与115°．
（2）若⊙O的半径为5，AD=5，求AB的长．
如下图所示：连接OD

∵OA=OD=AD=5，
∴△OAD是等边三角形，
又∵I为△ABC的内心，
∴∠ACD=∠BCD，
∴OD⊥AB，
∴AB=2×OA•cos30°=2×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$
即：AB的长为5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了“同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”、“三角形的内外角之间的关系”、“三角形的内切圆与内心与三角形的外接圆与外心”，解题的关键是熟练掌握涉及到的知识点，具有综合分析问题及解决问题的能力．