如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=CD=4，AD=3，∠B=30°．动点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在线段BC上运动；动点F同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在线段BC上运动．以EF为边作等边△EFG，与梯形ABCD在线段BC的同侧．设点E、F运动时间为t，当点F到达C点时，运动结束．
（1）当等边△EFG的边EG恰好经过点A时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与梯形ABCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点F到达C点时，将等边△EFG绕点E旋转α°（0＜α＜360），直线EF分别与直线CD、直线AD交于点M、N．是否存在这样的α，使△DMN为等腰三角形？若存在，请求出此时线段DM的长度；若不存在，请说明理由．
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