如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,
AB=CD=4,AD=3,∠B=30°.动点E从点B出发,以每秒1个单位长度的速度在线段BC上运动;动点F同时从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在线段BC上运动.以EF为边作等边△EFG,与梯形ABCD在线段BC的同侧.设点E、F运动时间为t,当点F到达C点时,运动结束.
(1)当等边△EFG的边EG恰好经过点A时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG与梯形ABCD的重合部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点F到达C点时,将等边△EFG绕点E旋转α°(0<α<360),直线EF分别与直线CD、直线AD交于点M、N.是否存在这样的α,使△DMN为等腰三角形?若存在,请求出此时线段DM的长度;若不存在,请说明理由.