Question

9．已知如图1，P为正方形ABCD的边BC上任意一点，BE⊥AP于点E，在AP的延长线上取点F，使EF=AE，连接BF，∠CBF的平分线交AF于点G．
（1）求证：BF=BC；
（2）求证：△BEG是等腰直角三角形；
（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，连接CG，当P点为BC的中点时，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；
（2）想办法证明∠F=∠BAF=∠EBP，由∠EBG=∠EBP+∠PBG，∠EGB=∠F+∠GBF，即可解决问题；
（3）求出BG，只要证明△EBP≌△GCP，即可推出CG=BE，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵BE⊥AF，AE=EF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BF=BC．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBP=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EBP，
∵AB=BF，
∴∠BAP=∠BFP，
∴∠EBP=∠BFP，
∵∠CBF的平分线交AF于G，
∴∠CBG=∠FBG，
∴∠EBP+∠CBG=∠BFP+∠FBG，
∴∠EBG=∠EGB，
∵BE⊥AF，
∴△BEG是等腰直角三角形．

（3）解：∵P是BC中点，正方形的边长为4，
∴AB=4，BP=CP=2，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BE⊥AP，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×BE=$\frac{1}{2}$×4×2，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=BC，AB=BF，
∴BC=BF，
由（1）可知∠CBG=∠FBG，
∴BG=BG，
∴△CBG≌△FBC，
∴∠BFP=∠BCG，
由（2）可知∠EBP=∠BFP，
∴∠EBP=∠BCG，
∵∠EPB=∠CPG，
∴△EBP≌△GCP，
∴CG=BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．