Question

如图AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E，求证：
（1）D是AB的中点；
（2）DE是⊙C的切线；
（3）BE•BF=2AD•ED．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵OA是⊙C的直径，
∴∠ADO=90°，
∵AB是⊙O的弦，OD是弦心距，
∴AD=BD，
即D是AB的中点；

（2）连接CD，
∵C、D分别为AO，AB的中点，
∴CD∥OB，
∵DE⊥OB，
∴DE⊥CD，
∴DE为⊙C的切线；

（3）连接BF，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BED=90°，
∴△ABF∽△BED，
∴

AB

BE

=

BF

ED

，
∴BE•BF=AB•ED，
∵AB=2AD，
∴BE•BF=2AD•ED．