Question

【题目】如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点．

探究：线段与的数量关系并加以证明；

当点运动到何处时，且满足什么条件时，四边形是正方形？

当点在边上运动时，四边形________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）

Answer 1

【答案】（1）OE=OF；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形；（3）不可能．

【解析】

（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；

（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形；

（3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．

（1）OE=OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE．

又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC．

∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD．

又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；

（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO．

又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．

∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．

已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：

如图，连接BF．

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以四边形BCFE不能是菱形．

故答案为：不可能．