Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（6，6），（6，0），抛物线y=-（x-m）²+n的顶点P在折线OA-AB上运动．
（1）当点P在线段OA上运动时，抛物线y=-（x-m）²+n与y轴交点坐标为（0，c）．
①用含m的代数式表示n，
②求c的取值范围．
（2）当抛物线y=-（x-m）²+n经过点B时，求抛物线所对应的函数表达式；
（3）当抛物线与△ABO的边有三个公共点时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）①设直线OA的解析式为y=kx，把点（6，6）代入可得k=1，推出y=x．因为y=-（x-m）²+n的顶点P在OA上，推出n=m．②由题意：y=-x²+2mx-m²+m，由抛物线与y轴交点坐标为（0，c），推出c=-m²+m，根据0≤m≤6，利用二次函数的性质即可解决问题．
（2）把B（6，0）代入抛物线的解析式即可解决问题．
（3）分三种情形①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，
②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P（6，6）．
③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点．

解答 解：（1）①设直线OA的解析式为y=kx，∵经过（6，6），
∴6k=6，
∴k=1，
∴y=x．
∵y=-（x-m）²+n的顶点P在OA上，
∴n=m．

②由题意：y=-x²+2mx-m²+m，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴c=-m²+m，
∵点P在线段OA上，
∴0≤m≤6，-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2×（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜$\frac{1}{2}$＜6，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，c=-（$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
当m=6时，c=-6²+6=-30，
∴c的取值范围为-30≤c≤$\frac{1}{4}$．

（2）当点P在线段OA上时，
∵抛物线经过B（6，0），
∴-（6-m）²+m=0，
∴m=4或9（舍弃），
∴y=-（x-4）²+4，
当点P在线段AB上时，点P与点B重合，
∴m=6，
∴y=-（x-6）²．

（3）①当抛物线经过点O时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，
把（0，0）代入抛物线y=-（x-m）²+m得到m=1或0（舍弃），此时P（1，1）．
②当抛物线经过点A时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，此时P（6，6）．
③当点P在AB上运动，抛物线与OA只有一个公共点时，抛物线与△ABO的边有三个公共点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-（x-6）^{2}+n}\end{array}\right.$消去y得到x²-11x+36-n=0，
由题意△=0，∴121-4（36-n）=0，
∴n=$\frac{23}{4}$，
∴P（6，$\frac{23}{4}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为（1，1）或（6，6）或（6，$\frac{23}{4}$）

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．