【题目】如图1,在中,,,点、分别在边、上,,连结,点、、分别为、、的中点.
(1)观察猜想图1中,线段与的数量关系是_______,位置关系是_______;
(2)探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置,连结、、,判断的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸把绕点在平面内自由旋转,若,,请直接写出面积的最大值.
【答案】(1),;(2)是等腰直角三角形,理由见解析;(3)面积的最大值为.
【解析】
(1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出得出,最后用互余即可得出结论;
(2)先判断出,得出,同(1)的方法得出,,即可得出,同(1)的方法即可得出结论;
(3)先判断出最大时,的面积最大,进而求出,,即可得出,最后用面积公式即可得出结论.
解:(1)∵点、是、的中点
∴,
∵点、是、的中点
∴,
∵,
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
(2)结论:是等腰直角三角形.
证明:由旋转知,
∵,
∴
∴,
∵由三角形中位线的性质可知,,
∴
∴是等腰三角形
∵同(1)的方法得,、
同(1)的方法得, 、
∴
∴
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形;
(3)∵由(2)得,是等腰直角三角形,
∴最大时,的面积最大
∴且在顶点上面时,,连接AM,AN,如图:
∵在中,,
∴
∵在中,,
∴
∴
∴.
故答案是:(1),;(2)是等腰直角三角形,理由见解析;(3)面积的最大值为
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【题目】如图,抛物线与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1,将C1向左平移得到C2,C2与x轴交于点B、D,若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
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【题目】快递公司为提高快递分拣的速度,决定购买机器人来代替人工分拣.已知购买甲型机器人1台,乙型机器人2台,共需14万元;购买甲型机器人2台,乙型机器人3台,共需24万元.
(1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元;
(2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件,该公司计划购买这两种型号的机器人共8台,总费用不超过41万元,并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件,则该公司有哪几种购买方案?哪个方案费用最低,最低费用是多少万元?
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【题目】小芳身高1.6米,此时太阳光线与地面的夹角为45°.
(1)若小芳正站在水平地面A处上时,那么她的影长为多少米?
(2)若小芳来到一个坡度i=的坡面底端B处,当她在坡面上至少前进多少米时,小芳的影子恰好都落在坡面上?
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【题目】在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:若y′=,则称点Q为点P的“可控变点”.请问:若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,则实数a的值是____.
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【题目】(1)如图,将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中(每空填一个字母,每空中的字母不重复),请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率;
(2)若在如图三个空格的右侧增加一个空格,将A、B、C、D四个字母任意填写其中(每空填一个字母,每空中的字母不重复),从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为 .
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【题目】在趣味运动会“定点投篮”项目中,我校七年级八个班的投篮成绩单位:个分别为:24,20,19,20,22,23,20,则这组数据中的众数和中位数分别是
A. 22个、20个 B. 22个、21个 C. 20个、21个 D. 20个、22个
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O.点D在⊙O 上,BD平分∠ABC交AC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)若BD=8,sin∠DBF=,求DE的长.
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【题目】当图形具有邻边相等的特征时,我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转,这样将分散的条件集中起来,从而达到解决问题的目的
如图1,等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系,我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形,三条线段的数量关系是_ ;
如图2,等边三角形内一点P,连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系.
如图3 ,在四边形中,点在四边形内部,且请直接写出的长.
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