Question

【题目】如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．

（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；

（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、、，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.

【解析】

（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；

（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出，最后用面积公式即可得出结论．

解：（1）∵点、是、的中点

∴，

∵点、是、的中点

∴，

∵，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

（2）结论：是等腰直角三角形．

证明：由旋转知，

∵，

∴

∴，

∵由三角形中位线的性质可知，，

∴

∴是等腰三角形

∵同（1）的方法得，、

同（1）的方法得， 、

∴

∴

∵

∴

∴

∴是等腰直角三角形；

（3）∵由（2）得，是等腰直角三角形，

∴最大时，的面积最大

∴且在顶点上面时，，连接AM，AN，如图：

∵在中，，

∴

∵在中，，

∴

∴

∴．

故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为