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(2012•咸宁)如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒.
(1)当点B与点D重合时,求t的值;
(2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=
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(3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线y=ax2-10ax的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.
分析:(1)由于∠CAB=90°,易证得Rt△CAO∽Rt△ABE;当B、D重合时,BE的长已知(即OC长),根据AC、AB的比例关系,即可得到AO、BE的比例关系,由此求得t的值.
(2)求△BCD的面积时,可以CD为底、BD为高来解,那么表示出BD的长是关键;Rt△CAO∽Rt△ABE,且知道AC、AB的比例关系,即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长,进一步得到BD的长,在表达BD长时,应分两种情况考虑:①B在线段DE上,②B在ED的延长线上.
(3)首先将抛物线的解析式进行配方,可得到抛物线的顶点坐标,将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中,可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标,根据这两个坐标即可判定出a的取值范围.
解答:解:(1)∵∠CAO+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠CAO=∠ABE.
∴Rt△CAO∽Rt△ABE.
CA
AB
=
AO
BE

2AB
AB
=
t
4

∴t=8.

(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知:BE=
1
2
t
,AE=2.
当0<t<8时,S=
1
2
CD•BD=
1
2
(2+t)(4-
t
2
)=
25
4

∴t1=t2=3.
当t>8时,S=
1
2
CD•BD=
1
2
(2+t)(
t
2
-4)=
25
4

∴t1=3+5
2
,t2=3-5
2
(为负数,舍去).
当t=3或3+5
2
时,S=
25
4


(3)过M作MN⊥x轴于N,则MN=
1
2
CO=2.
当MB∥OA时,BE=MN=2,OA=2BE=4.
抛物线y=ax2-10ax的顶点坐标为(5,-25a).
它的顶点在直线x=5上移动.
直线x=5交MB于点(5,2),交AB于点(5,1).
∴1<-25a<2.
∴-
2
25
<a<-
1
25
点评:考查了二次函数综合题,该题是图形的动点问题,前两问的关键在于找出相似三角形,得到关键线段的表达式,注意点在运动过程中未知数的取值范围问题.最后一问中,先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键.
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