【题目】已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,AE=BE.
(1)猜想:∠B的度数,并证明你的猜想.
(2)如果AC=3cm,CD=2cm,求△ABD的面积.
【答案】(1)∠B=30°,证明见解析;(2)S△ABD=6cm2.
【解析】
(1)根据已知条件得到AD=BD,由等腰三角形的性质得到∠B=∠DAE,根据AD是△ABC的角平分线,求得∠DAE=∠DAC,于是得到∠B=∠DAE=∠DAC,列方程即可得到结论;
(2)根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED,根据全等三角形的性质得到AE=BE,于是得到AB=2AE=2×3=6,即可得到结论.
解:(1)猜想:∠B=30°,
∵DE⊥AB且AE=BE,
∴AD=BD,
∴∠B=∠DAE,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAC,
∴∠B=∠DAE=∠DAC,
∵∠C=90°,
∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°,
∴∠B=30°;
(2)∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AE=BE,
∴AB=2AE=2×3=6,
∴S△ABD=ABDE=×6×2=6cm2.
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【题目】先阅读,再填空解题:
①方程x2﹣x﹣6=0的根是x1=3,x2=﹣2,则x1+x2=1,x1x2=﹣6;
②方程2x2﹣7x+3=0的根是x1=,x2=3,则x1+x2=,x1x2=.
根据以上①②你能否猜出:
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a、b、c为常数,b2﹣4ac≥0)有两根x1、x2,那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并说明理由.
利用公式法求出方程的根即可.
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【题目】如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行附近的B地,已知B地位于A地的北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏西30°方向,若要打通穿山隧道建高铁,求线段AC的长(结果保留整数)(参考数据:≈1.73,sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈ )
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【题目】在平面直角坐标系中,,且满足:,长方形在坐标系中(如图1),点为坐标系的原点.
(1)求点的坐标.
(2)如图2,若点从点出发,以2个单位/秒的速度向右运动(不超过点),点从原点出发,以1个单位/秒的速度向下运动(不超过点),设两点同时出发,在它们运动的过程中,四边形的面积是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求变化的范围.
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【题目】如图,是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形.若∠BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为 .
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【题目】如图,A(m,0),B(0,n),以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC.
(1)求C点的坐标.
(2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P,使△PAB与△ABC全等?若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如果三角形的两个内角和满足,那么我们称这样的三角行为“准直角三角形”.
(1)如图①,在中,,是的角平分线.
求证:是“准直角三角形”.
(2)关于“准直角三角形”,下列说法:
①在中,若,则是准直角三角形;
②若是“准直角三角形”,,则;
③“准直角三角形”一定是钝角三角形.其中,正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
(3)如图②,为直线上两点,点在直线外,且.若是上一点,且是“准直角三角形”,请直接写出的度数.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标;
(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标.
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【题目】如图1,OABC的边OC在y轴的正半轴上,,,反比例函数的图象经过的B.
求点B的坐标和反比例函数的关系式;
如图2,直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M,N两点,若点O和点B关于直线MN成轴对称,求线段ON的长;
如图3,将线段OA延长交的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点,请探究线段ED与BF的数量关系,并说明理由.
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