Question

2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，
∴点C的坐标为C（8，4），
设OB=x，则BC=x，BN=8-x，
在Rt△CNB中，x²-（8-x）²=4²，
解得：x=5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a+b=0}\\{8a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$，
根据题意得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y{=}_{3}^{4}x-\frac{20}{3}}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解此方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
∵点F在第一象限，
∴点F的坐标为F（6，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上的点的特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式．