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    在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
    （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
    （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
    （3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
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    分析：（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论；
    （2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
    （3）易证△BOD′≌△C′OA，则AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB≠α．
    解答：解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α，
    证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=
    1
    2
    AC，OB=OD=
    1
    2
    BD，
    ∴OA=OC=OB=OD，
    又∵OD=OD′，OC=OC′，
    ∴OB=OD′=OA=OC′，
    ∵∠D′OD=∠C′OC，
    ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
    ∴∠BOD′=∠AOC′，
    ∴△BOD′≌△AOC′，
    ∴BD′=AC′，
    ∴∠OBD′=∠OAC′，
    设BD′与OA相交于点N，
    ∴∠BNO=∠ANM，
    ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，
    即∠AMB=∠AOB=∠COD=α，
    综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α，
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    （2）AC′=kBD′，∠AMB=α，
    证明：∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
    又∵OD=OD′，OC=OC′，
    ∴OC'=OA，OD′=OB，
    ∵∠D′OD=∠C′OC，
    ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
    ∴∠BOD′=∠AOC′，
    ∴△BOD′∽△AOC′，
    ∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
    ∵AC=kBD，
    ∴AC′=kBD′，
    ∵△BOD′∽△AOC′，
    设BD′与OA相交于点N，
    ∴∠BNO=∠ANM，
    ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
    综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，

    （3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立．
    点评：本题主要考查了矩形、平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及角之间的关系，综合性强，难度较大．
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    ．

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