Question

如图，在这两个图形中，△ABC都是等边三角形，点D与点P在两个图形中的位置显然不同，但是每个图中的点D都在AB的中垂线上，且都有BP=BC，∠DBC=∠DBP．
（1）能否仅用眼睛观察，估计两个图中∠P的度数是否相等，以及它们的度数大约是多少？
（2）用量角器度量两图中∠P的度数．
（3）请再画一个图形，除点D，P的位置外，其他都与所给的图形一致，并度量所画图形中∠P的度数．

Answer 1

解：（1）两个图中∠P的度数是相等，它们的度数大约是30°．理由如下：
如图1，连接AD．
∵△ABC为等边三角形
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴BD=AD．
在△BCD与△ACD中，
，
∴△BCD≌△ACD（SSS），
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°．
在△BDP与△BDC中，
，
∴△BDP≌△BDC（SAS）
∴∠P=∠BCD=∠ACB=30°．
同理，如图2，∠P=∠ACB=30°；

（2）使用量角器量得，两图中∠P的度数都是30°；

（3）如图3，点D在AB的垂直平分线上，BD是∠PBC的平分线．测得∠BPD=150°．
分析：（1）根据等边三角形的性质先由SSS判定△BCD≌△ACD，从而得到∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，再利用SAS判定△BDP≌△BDC，从而得到∠P=∠BCD=30°；
（2）根据量角器的使用方法量出每一个角的度数，根据角的度数即可比较大小；
（3）点P可以在BC的下面，如图3所示．经测量所画图形中∠P的度数是150°．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质．
①垂直平分线垂直且平分其所在线段；
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．