Question

3．如图，是一种用于装修的人字形梯，合拢时，梯子的长为2.6米，距调查，这种梯子在张角为30°时最安全．
（1）求梯子最安全时，梯子能达到的最大高度是多少？（精确到0.1米）
（2）装修时，房顶距离地面3.6米，一个人坐在梯子最顶端时，他的手臂能达到的最大高度比梯子最顶端高出1.1米．要使装修正常进行，那么梯子张角至多为多少度？（精确到0.1度）
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.94，sin15.94°≈0.27，cos15.94°≈0.96）

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，再解Rt△ABD，即可求出AD=AB•cos∠BAD≈2.4；
（2）思想根据题意得出梯子能达到的最大高度是3.6-1.1=2.5米，再解Rt△ABD，求出cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2.5}{2.6}$≈0.96，则∠BAD≈15.94°，于是∠BAC=2∠BAD≈31.9°，即梯子张角至多为31.9度．

解答 解：（1）如图，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=30°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，
∴AD=AB•cos∠BAD=2.6×cos15°≈2.6×0.94≈2.4，
即梯子最安全时，梯子能达到的最大高度约是2.4米；

（2）根据题意可知，梯子能达到的最大高度是3.6-1.1=2.5，
在Rt△ABD中，∵cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2.5}{2.6}$≈0.96，
∴∠BAD≈15.94°，
∴∠BAC=2∠BAD≈31.9°，
即梯子张角至多为31.9度．

点评 本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．同时考查了等腰三角形三线合一的性质．