Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，设P=BC+CD，四边形ABCD的面积为S．
（1）试探究S与P之间的关系，并说明理由；
（2）若四边形ABCD的面积为12，求BC+CD的值．

Answer 1

分析：（1）由AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，可考虑利用旋转解答．将△ABE绕点A逆时针方向旋转90°，构造直角三角形即可计算出S与P之间的关系．
（2）将s=12代入S与P之间的关系式，即可计算出BC+CD的值．

解答：解：（1）AE⊥BC于E，把△ABE绕点A逆时针方向旋转90°到△ADF的位置，
∵∠CDA+∠B=180°，AD=AB，
∴∠ADC+∠ADF=180°，即F、D、C在一条直线上，
∴四边形AECF是正方形，其边长为

1

2

P，
∴S=(

1

2

P)2=

1

4

P2．

（2）∵

1

4

P2=12，
∴P=4

3

或P=-4

3

（舍去），即BC+CD=4

3

．

点评：此题考查了旋转的性质和正方形的性质，作AE⊥BC，构造直角三角形ABC，进而得到正方形AECF是解题的关键．