分析 设△HDG外接圆的圆心为O,连接OH,OG,根据已知条件得到∠HOG=90°,设DE=x,OG=OH=R,则FD=10-x,根据勾股定理得到GH=$\sqrt{2}$R,于是求得EF=EG+FH-GH=ED+FD-GH=10-$\sqrt{2}$R,根据勾股定理列方程R2-10$\sqrt{2}$R=x2-10x,求得R=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{{x}^{2}-10x+50}$=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{(x-5)^{2}+25}$,于是得到结论.
解答 解:设△HDG外接圆的圆心为O,连接OH,OG,
∵ED=EG,FD=FH,
∴∠EGD=$\frac{180°-∠E}{2}$,∠FHD=$\frac{180°-∠F}{2}$,
∴∠GDH=180°-∠EGD-∠FHD=$\frac{∠E+∠F}{2}$=45°,
∴∠HOG=90°,
设DE=x,OG=OH=R,则FD=10-x,GH=$\sqrt{2}$R,
∴EF=EG+FH-GH=ED+FD-GH=10-$\sqrt{2}$R,
∵EF2+ED2+FD2,
∴(10-$\sqrt{2}$R)2=x2+(10-x)2,
∴R2-10$\sqrt{2}$R=x2-10x,
∴R=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{{x}^{2}-10x+50}$=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{(x-5)^{2}+25}$,
∴R最大=5$\sqrt{2}$-5,此时x=5,即ED=FD=5.
点评 本题考查了三角形的外接圆与外心,等腰三角形的性质,三角形的内角和,勾股定理,连接OH,OG构造直角三角形是解题的关键.
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