Question

如图，点D是△ABC外一点，连接BD、CD．
（1）请写出图1中∠BDC、∠ABD、∠ACD、∠BAC之间的数量关系式，并说明理由；
（2）如图2，当点D移至△ABC内时，连接BD、CD．探究此时∠BDC、∠ABD、∠ACD、∠BAC的关系是否仍符合（1）中的关系？若符合，请说明理由；若不符合，请写出它们之间新的数量关系式，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据三角形外角的性质解答即可；
（2）延长BD交AC于点E，再根据三角形外角的性质即可得出结论．

解答：解：（1）∠BDC+∠ABD=∠ACD+∠BAC．
理由：∵∠CEB是△ACE的外角也是△BDE的外角，
∴∠CEB=∠ABD+∠BDC=∠BAC+∠ACD，
∴∠BDC+∠ABD=∠ACD+∠BAC；

（2）不符合，它们之间的关系是：∠BDC=∠ACD+∠BAC+∠ABD．
理由：延长BD交AC于点E，
∵∠CED=∠ABD+∠BAC，∠BDC=∠CED+∠ACD，
∴∠BDC=∠ACD+∠BAC+∠ABD．

点评：本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形的外角是解答此题的关键．