Question

已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为

 

．

Answer 1

分析：欲求△AEF的内切圆半径，可以画出图形，然后利用题中已知条件，挖掘隐含条件求解．

解答：解：如图（1），⊙I是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
AD=AE=

1

2

[（AB+AC）-（BD+CE）]=

1

2

[（AB+AC）-（BF+CF）]=

1

2

（AB+AC-BC）．
在图（2）中，由于△ABC，△DEF都为正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
∴△AEF≌△CFD；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M是△AEF的内心，MH⊥AE于H，
则AH=

1

2

（AE+AF-EF）=

1

2

（a-b）；
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AH•tan30°=

1

2

（a-b）•

3

3

=

3

6

(a-b)．

点评：本题考查圆的切线长定理的应用，题目来源于课本例题．