Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，己知点A（0，4）、B（2，4）、C（4，0），动点P从点C开始沿C-O-A-B，以每秒l单位速度匀速运动（到达B点即停止运动），设P运动时间为t（s），△PBC的面积为S．
（1）求出四边形OABC的面积；
（2）写出S关于t函数关系式；
（3）点P在运动过程中是否存在某一时刻t，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据梯形面积公式即可求出四边形OABC的面积；
（2）分三种情况讨论：①P在OC边上；②P在OA边上；③P在AB边上．根据三角形面积公式得出S关于t函数关系式；
（3）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论，可以求出t的值．

解答：解：（1）由题意得，OABC为直角梯形，AO=4，AB=2，OC=4，S_梯形0ABC=

1

2

×（2+4）×4=12；

（2）当0≤t≤4时，S=2t：当4＜t≤8时，S=12-t；当8＜t＜10时，S=20-2t；

（3）存在．
①P在O点，BP=BC=2

5

，PC=4，则t=4s；
②BC的垂直平分线与y轴的交点，P在OA上，OC+OP=4.5，则t=4.5s
③C为圆心，CB长为半径，交OA于P，根据勾股定理可知OP=2，OC+OP=6，则t=6s．
故t的值为4s或4.5s或6s时，△PBC为等腰三角形．

点评：本题结合函数考查了梯形面积、三角形面积，同时考查了等腰三角形的性质，注意有机的和图形结合起来求解．