Question

5个有理数两两的乘积是如下的10个数：
-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100．
请确定这5个有理数，并简述理由．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：代数综合题,分类讨论

分析：首先将将5个有理数两两的乘积由小到大排列，由5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．再分别从若这5个有理数是1负4正，不妨设为x₁＜0＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，可得x₁x₅＜x₁x₄＜x₁x₃＜x₁x₂＜0＜x₂x₃＜x₂x₄＜

x2x5 x3x4

＜x₃x₅＜x₄x₅，（其中x₂x₅和x₃x₄的大小关系暂时还不能断定），若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜0＜x₅，则x₁x₅＜x₂x₅＜x₃x₅＜x₄x₅＜0＜x₃x₄＜x₂x₄＜

x1x4 x2x3

＜x₁x₃＜x₁x₂，（其中x₁x₄和x₂x₃的大小关系暂时还不能断定），去分析求解即可求得答案．

解答：解：将5个有理数两两的乘积由小到大排列：
-6000＜-15＜-12.6＜-12＜0.168＜0.2＜0.21＜80＜84＜100．
∵5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，
∴这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．
（1）若这5个有理数是1负4正，不妨设为x₁＜0＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
则x₁x₅＜x₁x₄＜x₁x₃＜x₁x₂＜0＜x₂x₃＜x₂x₄＜

x2x5 x3x4

＜x₃x₅＜x₄x₅，（其中x₂x₅和x₃x₄的大小关系暂时还不能断定），
∴x₁x₅=-6000，x₁x₄=-15，x₄x₅=100，
三式相乘，得（x₁x₄x₅）²=9×10⁶，
又∵x₁＜0，x₄＞0，x₅＞0，
∴x₁x₄x₅=-3000，
则x₁=-30，x₄=0.5，x₅=200．
再由x₁=-30，x₁x₂=-12，x₁x₃=-12.6，
得x₂=0.4，x₃=0.42．
经检验x₁=-30，x₂=0.4，x₃=0.42，x₄=0.5，x₅=200满足题意．
（2）若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜0＜x₅，
则x₁x₅＜x₂x₅＜x₃x₅＜x₄x₅＜0＜x₃x₄＜x₂x₄＜

x1x4 x2x3

＜x₁x₃＜x₁x₂，（其中x₁x₄和x₂x₃的大小关系暂时还不能断定），
∴x₁x₅=-6000，x₂x₅=-15，x₁x₂=100，
三式相乘，得（x₁x₂x₅）²=9×10⁶，
又∵x₁＜0，x₂＜0，x₅＞0，
解得x₁x₂x₅=3000，
∴x₁=-200，x₂=-0.5，x₅=30，
再由x₅=30，x₃x₅=-12.6，x₄x₅=-12，
得x₃=-0.42，x₄=-0.4．
经检验，x₁=-200，x₂=-0.5，x₃=-0.42，x₄=-0.4，x₅=30满足题意．
综上可得：这5个有理数分别是-30，0.4，0.42，0.5，200或-200，-0.5，-0.42，-0.4，30．

点评：此题考查了有理数的概念与运算．此题难度较大，注意根据题意得到这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数，然后分类讨论求解是解此题的关键．