Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组即可求得系数a、b的值；
（2）分类讨论：以OD为底的等腰三角形；以DF为底的等腰三角形；
（3）过点E作EF⊥x，轴于点F，设E（ a，-2a²-2a+3）（-3＜a＜0），则四边形BOCE的面积=三角形BEF的面积+梯形EFOC的面积，即S_{四边形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF=-

3

2

（a+

3

2

）²+

63

8

，由二次函数最值的求法即可求得a的值，所以点E的坐标迎刃而解了．

解答：解：（1）由题知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

故所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）存在符合条件的点F．
∵抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式是y=kx+b（k≠0），
把点A、C的坐标代入，得

0=k+b 3=b

，
解得，

k=-3 b=3

，
∴直线AC的解析式是y=-3x+3．
则设F（x，-3x+3）．
①当FD=FO时，点F是线段OD垂直平分线与直线AC的交点．
∵点D的坐标为（-2，0），
∴点F的横坐标是-1，则y=-3×（-1）+3=6，即F₁（-1，6）；
②当DO=FO时，2²=x²+（-3x+3）²．
解得，x₁=

9+ 31

10

，x₂=

9- 31

10

，
则y₁=

3-3 31

10

，y₂=

3+3 31

10

，即F₂（

9+ 31

10

，

3-3 31

10

），F₃（

9- 31

10

，

3+3 31

10

）．
综上所述，符号条件的点F的坐标分别是：
其坐标为F₁（-1，6），F₂（

9+ 31

10

，

3-3 31

10

），F₃（

9- 31

10

，

3+3 31

10

）．

（3）如图2，过点E作EG⊥x轴于点G，设E（ a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EG=-a²-2a+3，BG=-a+3，OG=-a
∴S_{四边形BOCE}=

1

2

BG•EG+

1

2

（OC+EG）•OG
=

1

2

（-a+3）•（-a²-2a+3）+

1

2

（-a²-2a+6）•（-a）
=-

3

2

a²-

9

2

a+

9

2

=-

3

2

（a+

3

2

）²+

63

8

∴当a=-

3

2

时，S_{四边形BOCE} 最大，且最大值为

63

8

，
而S_△BOC值一定，具体求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=

9

2

，
则△BCE面积的最大值S=S_{四边形BOCE}-S_△BOC=

63

8

-

9

2

=

27

8

．
又∵当a=-

3

2

时，-a²-2a+3=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
∴点E坐标为 （-

3

2

，

15

4

）．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，三角形与直角梯形面积的计算以及等腰三角形的性质．解答（2）题时，在没有确定底边的情况下，一定要对等腰三角形的底边进行分类讨论，以防漏解．