Question

14．如图，已知AOBC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C的坐标为（8，6），在BC边上取一点E，将纸片沿AE翻折，使点C恰好落在AB边上的点F处．
（1）求AB的长；
（2）求点E的坐标；
（3）写出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠C=∠AOB=90°，OA=BC=8，AC=OB=6，由勾股定理求出AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10；
（2）设BE=x，由题意得出点E的纵坐标为6，由折叠的性质得：FE=CE=8-x，AF=AC=6，∠AFE=∠C=90°，求出BF=AB-ZF=4，∠BFE=90°，在Rt△BFE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE=5，即可得出点E的坐标为（5，6）；
（3）作FM⊥OA于M，则FM∥OB，得出△AMF∽△AOB，得出对应边成比例求出AM=$\frac{3}{5}$AO=$\frac{24}{5}$，FM=$\frac{3}{5}$BO=$\frac{18}{5}$，得出OM=AO-AM=$\frac{16}{5}$，即可得出点F的坐标．

解答 解：（1）∵点C的坐标为（8，6），
∴OA=8，AC=6，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠C=∠AOB=90°，OA=BC=8，AC=OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10；

（2）设BE=x，
∵点E在BC上，
∴点E的纵坐标为6，
由折叠的性质得：FE=CE=8-x，AF=AC=6，∠AFE=∠C=90°，
∴BF=AB-ZF=4，∠BFE=90°，
在Rt△BFE中，由勾股定理得：BF²+FE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴BE=5，
∴点E的坐标为（5，6）；

（3）作FM⊥OA于M，则FM∥OB，如图所示：
∴△AMF∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AO}=\frac{FM}{BO}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴AM=$\frac{3}{5}$AO=$\frac{3}{5}$×8=$\frac{24}{5}$，FM=$\frac{3}{5}$BO=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$，
∴OM=AO-AM=5-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴点F的坐标为（$\frac{16}{5}$，$\frac{18}{5}$）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度适中，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．