Question

（2013•淮北一模）已知：如图，平行四边形ABCD的顶点D在平行四边形AEFG的边FG上，平行四边形AEFG的顶点E在平行四边形ABCD的边BC上，CD与EF相交于点H，设△ABE、△ECH、△HFD、△DGA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，给出下列结论：
①平行四边形ABCD的面积=平行四边形AEFG的面积；
②S₁+S₂=S₃+S₄；
③S₃+S₄=平行四边形AEFG面积的一半；
④S₁=S₂+S₃+S₄．
其中正确结论的序号是

①②

（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析：延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积，判断①正确；
由①可知，S₁+S₂+S_{四边形AEHD}=S₃+S₄+S_{四边形AEHD}，则可判断②正确，④错误；
由△AGD≌△EFP，得出S₄=S_△EFP，则S₃+S₄＜S_△PDE=

1

2

S_?AEPD，S_?AEPD=S_?AEFG，③错误．

解答：解：延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG=∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG=EF，
∴∠G=∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，

∠G=∠EFP ∠ADG=∠P AG=EF

，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S₄=S_△EFP，
∴S₄+S_{四边形AEFD}=S_△EFP+S_{四边形AEFD}，
即S_?AEFG=S_?ADPE，
又∵?ADPE与?ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S_?ABCD=S_?ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG的面积，①正确；
∵平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG的面积，
∴S₁+S₂+S_{四边形AEHD}=S₃+S₄+S_{四边形AEHD}，
∴S₁+S₂=S₃+S₄，②正确；④错误；
∵△AGD≌△EFP，
∴S₄=S_△EFP，
∴S₃+S_△EFP+S_△EDH=S_△PDE=

1

2

S_?AEPD，
∴S₃+S₄＜

1

2

S_?AEPD，
∵S_?AEPD=S_?ABCD=S_?AEFG，
∴S₃+S₄＜

1

2

S_?AEFG，③错误．
所以正确结论的序号是①②．
故答案为①②．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，有一定难度．通过作辅助线，证明四边形ADPE是平行四边形，进而得出得出平行四边形ABCD的面积=平行四边形AEFG的面积是解题的关键．