Question

12．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使S_△ABM=$\frac{3}{2}$，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根据三角形的面积公式求出BM的长，由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=$\sqrt{10}$，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AN}{AC}$，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON

解答 解：∵正方形ABCD的边长为3，S_△ABM=$\frac{3}{2}$，
∴BM=$\frac{1}{2}$．
∵AB=3，BM=1，
∴AM=$\sqrt{10}$，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB²=AN×AM，BM²=MN×AM，
∴AN=$\frac{9\sqrt{10}}{10}$，MN=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
∴AO=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{AO}{AM}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AN}{AC}$，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴$\frac{ON}{MC}$=$\frac{AO}{AM}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴ON=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．