Question

12．如图1，在△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，且交BC的延长线于D．

（1）若∠ACB=50°，∠D=15°，求∠B．
（2）试探索∠ACB与∠B及∠D的关系；
（3）如图2，在△ABC中，AF是△ABC外角∠EAB的平分线，AF的反向延长线交CB的延长线于D，∠ACB与∠B及∠D的关系依然成立吗？

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ACB-∠D=35°，由AD平分∠CAE，得到∠EAD=∠CAD=35°，于是得到结果；
（2）由外角的性质得到∠CAD=∠ACB-∠D，根据角平分线的性质得到∠EAD=∠CAD=∠ACB-∠D，等量代换得到∠B=∠ACB-2∠D；
（3）根据外角的性质得到∠ACB=∠D+∠DAC，等量代换得到∠ACB=∠D+∠FAE，根据角平分线的性质得到∠FAB=∠FAE，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=50°，∠D=15°，
∴∠CAD=∠ACB-∠D=35°，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=35°，
∴∠B=∠EAD-∠D=20°；

（2）∵∠CAD=∠ACB-∠D，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=∠ACB-∠D，
∴∠B=∠ACB-∠D-∠D=∠ACB-2∠D；

（3）∵∠ACB=∠D+∠DAC，
∵∠DAC=∠FAE，
∴∠ACB=∠D+∠FAE，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAB=∠FAE，
∴∠ACB=∠D+∠FAB，
∵∠FAB=∠D+∠B，
∴∠ACB=∠D+∠D+∠B，
∴∠B=∠ACB-2∠D．

点评 本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．