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    16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F两点分别在AC，BC边上运动　（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
    ①四边形CEDF不可能为正方形；
    ②△DFE是等腰直角三角形；
    ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
    ④点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$．
    其中正确结论有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    分析 ①当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
    ②作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
    ③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通过等量代换就可以求出结论；
    ④△DEF是等腰直角三角形，$\sqrt{2}$DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2$\sqrt{2}$，此时点C到线段EF的最大距离．

    解答 解：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，
    所以四边形CEDF可以为正方形，故选项①错误；
    连接CD，
    ∵△ABC是等腰直角三角形，
    ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
    ∵在△ADE和△CDF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$
    ∴△ADE≌△CDF（SAS）；
    ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
    ∵∠ADE+∠EDC=90°，
    ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
    ∴△DFE是等腰直角三角形．故选项②正确；
    ③∵△ADE≌△CDF，
    ∴S△ADE=S△CDF．
    ∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，
    ∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED，
    ∴S四边形CEDF=S△ADC．
    ∵S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC=4．
    ∴四边形CEDF的面积是定值4，
    ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化，故选项③错误；
    ④设C到EF的距离为d，CF=x，
    ∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距离为$\frac{1}{2}$，
    又四边形CEDF的面积是定值4，
    故S四边形CEDF=S△CEF+S△FED=$\frac{EF}{2}$=4
    d=$\frac{8}{EF}$，当EF越小，则减数越大，被减数越小，d越大；
    由勾股定理可知EF2=x2+（4-x）2=2（x-2）2+8（0＜x＜4）
    故x=2时，EF取最小值=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
    代入解得：d=$\sqrt{2}$．故选项④正确．
    故选B．

    点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．

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