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9.我市AAAA景区有一处景观奇异的望天洞,D点是望天洞的入口,游人从入口进洞后,可经山洞到山顶的出口亭A处观光,最后坐缆车沿索道AB返回山脚下B处.在同一平面内,若测得斜坡BD的长为120米,坡角为∠DBC=10°,在B出测得A的仰角∠ABC=40°,在D出测得A的仰角∠ADF=85°,过点D作地面BE的垂线,垂足为C.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求索道AB的长(结果保留根号).

分析 (1)利用点D处的周角即可求得∠ADB的度数;
(2)首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形,应利用其公共边构造三角关系,进而可求出答案.

解答 解:(1)∵DC⊥CE,
∴∠BCD=90°,
又∵∠DBC=10°,
∴∠BDC=80°,
∵∠ADF=85°,
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°;

(2)过点D作DG⊥AB于点G.
在Rt△GDB中,
∠GBD=40°-10°=30°,
∴∠BDG=90°-30°=60°,
又∵BD=100,
∴GD=BD=100×$\frac{1}{2}$=50,
∴GB=BD×cos30°=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$,
在Rt△ADG=105°-60°=45°,
∴GD=GA=50,
∴AB=AG+GB=50+50$\sqrt{3}$,
答:索道长(50+50$\sqrt{3}$)米.

点评 本题考查仰角的定义及直角三角形的解法,首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的定义解题,正确的构造出直角三角形是解题关键.

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