Question

已知二次方程x²+x-1=0的两根为α、β，求2α⁵+β³的值．

Answer 1

分析：首先利用二次方程x²+x-1=0的两根为α、β对代数式进行化简，然后再根据根与系数的关系进行求解得到结果．

解答：解：∵二次方程x²+x-1=0的两根为α、β，
∴α²+α-1=0，β²+β-1=0，
则α⁵=α•α²•α²=α•（1-α）（1-α）=（2α-1）（1-α）=5α-3
β³=β•β²=β（1-β）=β-β²=β-（1-β）=2β-1
∴2α⁵+β³=2（5α-3）+2β-1=10α+2β-7，
根据根与系数的关系有α+β=-1，
则β=-1-α，
所以原式=10α+2（-1-α）-7=8α-9
解方程可知：α=

-1± 5

2

，
所以原式=-13±4

5

．
即2α⁵+β³的值为-13±4

5

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．