Question

如图，D，E，F分别是正三角形ABC的边AB，BC，AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM为正三角形．求证：PE=FM．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：连接DF、DE，根据D、E、F为中点，根据三角形中位线定理可得DF=ED，利用60°证明∠FDM=∠EDP，再根据△DPM为正三角形可得DM=DP，然后利用边角边定理证明△DEP与△DFM全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答：证明：连接DF、DE，∵D为AB的中点，F为AC的中点，E为BC 的中点，
∴DF=

1

2

BC，DE=

1

2

AC，
∴DF=ED，
∵∠ADF=∠BDE=60°，
∴∠EDF=180°-2×60°=60°，
又∵∠FDM=∠PDM-∠PDF=60°-∠PDF，
∠EDP=∠EDF-∠PDF=60°-∠PDF，
∴∠FDM=∠EDP，
在△DEP与△DFM中，

DF=DE ∠FDM=∠EDP DM=DP

，
∴△DEP≌△DFM（SAS）．
∴PE=FM．

点评：本题主要考查了等边三角形的三条边都相等，每一个角都是60°的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形证明线段相等是常用的方法，需要熟练掌握．