Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上，DE交BC于点O．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，求证：△ABC∽△FCO．

Answer 1

分析 （1）利用互余计算出∠A=60°，再根据旋转的性质得CA=CD，∠ACD=n°，则可判断△ACD为等边三角形，所以∠ACD=60°，即可得到n的值为60；
（2）根据旋转的性质得∠CDE=∠A=60°，∠DCE=∠ACB=90°，由于F是DE的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得CF=DF=EF，则可判断△CDF为等边三角形，得到∠DFC=∠DCF=60°，利用∠ACD=60°得∠DCO=30°，则∠OCF=30°，即有∠B=∠OCF，∠A=∠OFC，然后根据相似三角形的判定方法即可得到△ABC∽△FCO．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上，
∴CA=CD，∠ACD=n°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
即n的值为60；
（2）证明：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴∠CDE=∠A=60°，∠DCE=∠ACB=90°，
∵F是DE的中点，
∴CF=DF=EF，
∴△CDF为等边三角形，
∴∠DFC=∠DCF=60°，
∵∠ACD=60°，
∴∠DCO=30°，
∴∠OCF=30°，
∵∠B=∠OCF，∠A=∠OFC，
∴△ABC∽△FCO．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心； 旋转方向； 旋转角度．也考查了相似三角形的判定．