Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0）和点C，与y轴交于点B．

（1）求抛物线解析式和点B坐标；

（2）在x轴上有一动点P（m，0）过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线与点M，当点M位于第一象限图象上，连接AM，BM，求△ABM面积的最大值及此时M点的坐标；

（3）如图2，点B关于x轴的对称点为D，连接AD，BC．

①填空：点P是线段AC上一点（不与点A、C重合），点Q是线段AB上一点（不与点A、B重合），则两条线段之和PQ+BP的最小值为　 　；

②填空：将△ABC绕点A逆时针旋转a（0°＜α＜180°），当点C的对应点C′落在△ABD的边所在直线上时，则此时点B的对应点B′的坐标为　 　．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y＝x2+x+2，B（0，2）；（2）S△ABM的最大值＝4，（2，3）；（3）或或．

【解析】

(1)将A(4，0)代入y＝ax2+(a+2)x+2，可求出a的值，将a的值代入即得到抛物线解析式，令x＝0，求y，得点B坐标；

(2)待定系数法求直线AB的解析式，设点P(m，0)，将S△ABM表示成m的二次函数，配方成顶点式即可求得△ABM面积的最大值及此时M点的坐标；

(3)①求PQ+BP的最小值利用对称进行转化，应用“两点之间线段最短”及“垂线段最短”可以得到“PQ+BP的最小值”即为点D到直线AB的距离；.

②题在△ABC绕A逆时针旋转过程中，按照依次落在直线BD、AD、AB上分类讨论．

(1)将A(4，0)代入y＝ax2+(a+2)x+2，

得16a+4(a+2)+2＝0，解得a＝，

∴抛物线解析式为y＝x2+x+2，

令x＝0，得y＝2，

∴B(0，2)；

(2)如图1，过点M作ME⊥AB于E，设P(m，0)，M(m，m2+m+2)，

设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A(4，0)，B(0，2)分别代入，

得，解得，

∴直线AB的解析式为y=x+2，

∴N(m，m+2)，

∴MN=m2+m+2-(m+2)= m2+2m，

∵MN⊥x轴，

∴MN∥y轴，

∴∠MNE＝∠ABO，又∵∠MEN＝∠AOB＝90°，

∴△MEN∽△AOB，

∴，

∴ME×AB＝AO×MN，

∴＝﹣(m﹣2)2+4，

∵﹣1＜0，0＜m＜4，

∴当m＝2时，S△ABM的最大值＝4，

此时，点M的坐标为(2，3)；

(3)①如图2，连接BP、DP、PQ，则PQ+BP＝PQ+DP，只有当D、P、Q三点在同一直线上，且DP⊥AB时，PQ+BP的值最小．

过点D作DQ⊥AB于Q，交x轴于P，OA＝4，OB＝2，AB＝＝2，

∵B、D关于x轴对称，

∴D(0，﹣2)，BD＝4，

∵BD×AO＝DQ×AB，

∴DQ＝，即PQ+BP的最小值＝，

故答案为：；

②如图3，点C′落在直线BD上，

在抛物线解析式y＝x2+x+2中，令y＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，

∴C(﹣1，0)，AC＝5，BC＝，

∵AB2+BC2=(2)2+()2=25=AC2，

∴∠ABC＝90°，

由旋转知，AC′＝AC＝5，B′C′＝BC＝，AB′＝AB＝2，∠AB′C′＝∠ABC＝90°，

OC′=＝3，∴C′(0，﹣3)，

设AB′交y轴于F，过B′作B′G⊥y轴于G，

∵∠AOF＝∠C′B′F＝90°，∠AFO＝∠C′FB′

∴△AFO∽△C′FB′，

∴∠FAO＝∠FC′B′，，即，

∴AF=，

∵AO2+OF2＝AF2，

∴，解得OF=，

∴AF=，

∵∠C′GB′＝∠AOF＝90°，

∴△C′GB′∽△AOF，

∴，即B′G×AF＝OF×B′C′，

∴，∴，

∴，即C′G×AF＝OA×B′C′，

∴，∴，

∴；

如图4，点C′落在直线AD上，∵∠BAC＝∠OAD，

∴点B的对应点B′落在x轴上，由旋转知：△AB′C′≌△ABC，

∴AB′＝AB＝2，OB′＝2-4，

∴B′(4-2，0)；

如图5，点C′落在直线AB上，过C′作C′B″⊥x轴于B″，作B′M⊥x轴于M，作DQ⊥AB于Q，

∵∠B″AC′＝∠BAC＝∠B′AC′，∠AB″C′＝∠AB′C′＝∠ABC＝∠AQD＝∠AM′＝90°，AC′＝AC＝5，

∴∠BAD＝∠B′AB″，AB＝AD＝AB′＝AB″，

∴△ADQ≌△AB′M，

∴B′M＝DQ＝，

∴，

OM=OA+AM=4+=，

∴B′(，-)，

故答案为：或或．