Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB＝90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．

（1）请说明：CD是⊙O的切线：

（2）若AB＝4，BC＝2．则阴影部分的面积为　 　

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，易证△CAO≌△CDO（SAS），由全等三角形的性质可得∠CDO=∠CAO=90°，即CD⊥OD，进而可证明CD是⊙O的切线；

（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，首先利用勾股定理可求出AC，OC的长，证得△OBD是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

（1）证明：如图，连接OD，

∵BD∥CO，

∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，

在⊙O中，OB＝OD，

∴∠DBO＝∠ODB，

∴∠COA＝∠COD，

在△CAO和△CDO中， ，

∴△CAO≌△CDO（SAS）．，

∴∠CDO＝∠CAO＝90°，

即 CD⊥OD，

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．

在Rt△ABC中，AC＝，

∴OC＝＝4，

∴∠AOC＝60°，

∵△CAO≌△CDO，

∴∠COD＝∠COA＝60°，

∴∠BOD＝60°，

∴△BOD是等边三角形，

∴BD＝OD＝2，OE＝，

∴阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×2×＝π﹣．

故答案为：π﹣．