Question

14．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；
（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；
（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．

解答 解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×4+2b+c=0}\\{\frac{1}{2}×64+8b+c=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；

（2）由y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，得
二次函数图象的顶点坐标为（4，-2）．
令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-4x+6=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴D点的坐标为（6，0）；

（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．
连接CA，如图，
∵点C在二次函数的对称轴x=4上，
∴x_C=4，CA=CD，
∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，
根据“两点之间，线段最短”，可得
当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，
此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{8m+n=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x-2．
当x=4时，y=4-2=2，
∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、抛物线是轴对称图形、抛物线上点的坐标特征、两点之间线段最短、解一元二次方程等知识，在解决问题的过程中，用到了配方法、待定系数法等重要的数学方法，而运用“两点之间线段最短”则是解决第3小题的关键．