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14.如图,二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点坐标是(8,6).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标;
(3)二次函数的对称轴上是否存在一点C,使得△CBD的周长最小?若C点存在,求出C点的坐标;若C点不存在,请说明理由.

分析 (1)只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式;
(2)只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标,只需令y=0就可求出点D的坐标;
(3)连接CA,由于BD是定值,使得△CBD的周长最小,只需CD+CB最小,根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD,只需CA+CB最小,根据“两点之间,线段最短”可得:当点A、C、B三点共线时,CA+CB最小,只需用待定系数法求出直线AB的解析式,就可得到点C的坐标.

解答 解:(1)把A(2,0),B(8,6)代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c,得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×4+2b+c=0}\\{\frac{1}{2}×64+8b+c=6}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$,
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-4x+6;

(2)由y=$\frac{1}{2}$x2-4x+6=$\frac{1}{2}$(x-4)2-2,得
二次函数图象的顶点坐标为(4,-2).
令y=0,得$\frac{1}{2}$x2-4x+6=0,
解得:x1=2,x2=6,
∴D点的坐标为(6,0);

(3)二次函数的对称轴上存在一点C,使得△CBD的周长最小.
连接CA,如图,
∵点C在二次函数的对称轴x=4上,
∴xC=4,CA=CD,
∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD,
根据“两点之间,线段最短”,可得
当点A、C、B三点共线时,CA+CB最小,
此时,由于BD是定值,因此△CBD的周长最小.
设直线AB的解析式为y=mx+n,
把A(2,0)、B(8,6)代入y=mx+n,得
$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{8m+n=6}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$,
∴直线AB的解析式为y=x-2.
当x=4时,y=4-2=2,
∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为(4,2)时,△CBD的周长最小.

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、抛物线是轴对称图形、抛物线上点的坐标特征、两点之间线段最短、解一元二次方程等知识,在解决问题的过程中,用到了配方法、待定系数法等重要的数学方法,而运用“两点之间线段最短”则是解决第3小题的关键.

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