Question

如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD=90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN、ON，求证：MN=

2

ON．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：连接OM，根据条件可以得出△AOC≌△BOD就可以得出AC=BD，由直角三角形的性质就可以得出∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB就可以得出∠NOB=∠MOA，就可以得出∠NOM=90°，MO=NO，由勾股定理就可以得出结论．

解答：证明：在△AOC和△BOD中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠A=∠OBD，
∴

1

2

AC=

1

2

BD．
∵M、N分别是AC、BD的中点，∠AOC=∠BOD=90°，
∴MO=MA=

1

2

AC，NO=NB=

1

2

BD，
∴∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，MO=NO，
∴∠AOM=∠BON．
∵∠AOM+∠COM=90°，
∴∠BON+∠COM=90°，
∴∠MON=90°．
∴MN²=MO²+NO²，
∴MN²=2NO²，
∴MN=

2

ON．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的判定，勾股定理的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．