Question

6．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．
（1）求点A、B两点的坐标．
（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时，求此时抛物线的解析式．
（3）连结AE、AC、CE，若tan∠CAE=$\frac{1}{2}$．
①求点E坐标；
②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结MA，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，从而求得A、B的坐标；
（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），根据待定系数法求得y=ax²+（-4a-2）x+8，从而求得对称轴x=2+$\frac{1}{a}$，根据切线的性质列出2+$\frac{1}{a}$=-5，从而求得a的值，进而求得b的值，即可求得抛物线的解析式．
（3）①根据tan∠ACO=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，得出∠CAE=∠ACO，证得AE∥CO，进一步证得点A在抛物线的对称轴上，因为抛物线y=ax²+（-4a-2）x+8的对称轴为x=2+$\frac{1}{a}$，所以2+$\frac{1}{a}$=-4，求得a的值，求得解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+8=-6（x+4）²+$\frac{32}{3}$，根据顶点式即可求得E的坐标；
②连接BM，因为∠PBM=∠CAM，∠CAM=∠ACM=∠EAC，得出∠PBM=∠EAC，所以以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，存在$\frac{BM}{AE}$=$\frac{PB}{AC}$或$\frac{BM}{AC}$=$\frac{PB}{AE}$两种情况，对两种情况分别讨论即可求得．

解答 解；（1）如图1，连结MA，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，
∴点A、点B的坐标分别是（-4，0）、（4，0），
（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵MC=AM=5，M0=3，
∴c=8，
∵B（4，0）
∴0=16a+4b+8，
∴b=-4a-2；
此时，y=ax²+（-4a-2）x+8（a≠0），
它的对称轴是直线：x=$\frac{4a+2}{2a}$=2+$\frac{1}{a}$；
又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切，
则2+$\frac{1}{a}$=-5，
∴a=-$\frac{1}{7}$，b=-$\frac{10}{7}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x²-$\frac{10}{7}$x+8；
（3）①在Rt△AOC中
tan∠ACO=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，而tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上；
又∵y=ax²+（-4a-2）x+8，
∴2+$\frac{1}{a}$=-4，
∴a=-$\frac{1}{6}$；
∴y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+8=-6（x+4）²+$\frac{32}{3}$，
∴E（-4，$\frac{32}{3}$），
②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，
根据B、C的坐标求得直线BC的解析式为y=-2x+8，
连接BM，如图2，∵∠PBM=∠CAM，∠CAM=∠ACM=∠EAC，
∴∠PBM=∠EAC，
∴以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，
∴$\frac{BM}{AE}$=$\frac{PB}{AC}$，或$\frac{BM}{AC}$=$\frac{PB}{AE}$，
设P（m，-2m+8），
∵A（-4，0），B（4，0），C（0，8），M（0，3），E（-4，$\frac{32}{3}$），
∴AE=$\frac{32}{3}$，AC=4$\sqrt{5}$，BM=5，
∴PB=$\frac{15\sqrt{5}}{8}$或$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∴解（m-4）²+（-2m+8）²=（$\frac{15\sqrt{5}}{8}$）²得m₁=$\frac{17}{8}$，m₂=$\frac{47}{8}$＞4（不和题意舍去），
解（m-4）²+（-2m+8）²=（$\frac{8\sqrt{5}}{3}$）²，得m₃=$\frac{4}{3}$，m=$\frac{20}{3}$＞4（不和题意舍去），
∴点P的坐标为（$\frac{17}{8}$，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{16}{3}$）．

点评 本题是圆的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，切线的性质，三角形相似的性质等，分类讨论思想的运用是解题的关键．