分析 (1)连结MA,由题意得:AM=5,OM=3,则OA=4,同理得OB=4,从而求得A、B的坐标;
(2)设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),根据待定系数法求得y=ax2+(-4a-2)x+8,从而求得对称轴x=2+$\frac{1}{a}$,根据切线的性质列出2+$\frac{1}{a}$=-5,从而求得a的值,进而求得b的值,即可求得抛物线的解析式.
(3)①根据tan∠ACO=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$,tan∠CAE=$\frac{1}{2}$,得出∠CAE=∠ACO,证得AE∥CO,进一步证得点A在抛物线的对称轴上,因为抛物线y=ax2+(-4a-2)x+8的对称轴为x=2+$\frac{1}{a}$,所以2+$\frac{1}{a}$=-4,求得a的值,求得解析式为y=-$\frac{1}{6}$x2-$\frac{4}{3}$x+8=-6(x+4)2+$\frac{32}{3}$,根据顶点式即可求得E的坐标;
②连接BM,因为∠PBM=∠CAM,∠CAM=∠ACM=∠EAC,得出∠PBM=∠EAC,所以以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似,存在$\frac{BM}{AE}$=$\frac{PB}{AC}$或$\frac{BM}{AC}$=$\frac{PB}{AE}$两种情况,对两种情况分别讨论即可求得.
解答 解;(1)如图1,连结MA,由题意得:AM=5,OM=3,则OA=4,同理得OB=4,
∴点A、点B的坐标分别是(-4,0)、(4,0),
(2)设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵MC=AM=5,M0=3,
∴c=8,
∵B(4,0)
∴0=16a+4b+8,
∴b=-4a-2;
此时,y=ax2+(-4a-2)x+8(a≠0),
它的对称轴是直线:x=$\frac{4a+2}{2a}$=2+$\frac{1}{a}$;
又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切,
则2+$\frac{1}{a}$=-5,
∴a=-$\frac{1}{7}$,b=-$\frac{10}{7}$,
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x2-$\frac{10}{7}$x+8;
(3)①在Rt△AOC中
tan∠ACO=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$,而tan∠CAE=$\frac{1}{2}$,
∴∠CAE=∠ACO,所以AE∥CO,即点A在抛物线的对称轴上;
又∵y=ax2+(-4a-2)x+8,
∴2+$\frac{1}{a}$=-4,
∴a=-$\frac{1}{6}$;
∴y=-$\frac{1}{6}$x2-$\frac{4}{3}$x+8=-6(x+4)2+$\frac{32}{3}$,
∴E(-4,$\frac{32}{3}$),
②在直线BC上存在点P,使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似,
根据B、C的坐标求得直线BC的解析式为y=-2x+8,
连接BM,如图2,∵∠PBM=∠CAM,∠CAM=∠ACM=∠EAC,
∴∠PBM=∠EAC,
∴以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似,
∴$\frac{BM}{AE}$=$\frac{PB}{AC}$,或$\frac{BM}{AC}$=$\frac{PB}{AE}$,
设P(m,-2m+8),
∵A(-4,0),B(4,0),C(0,8),M(0,3),E(-4,$\frac{32}{3}$),
∴AE=$\frac{32}{3}$,AC=4$\sqrt{5}$,BM=5,
∴PB=$\frac{15\sqrt{5}}{8}$或$\frac{8\sqrt{5}}{3}$,
∴解(m-4)2+(-2m+8)2=($\frac{15\sqrt{5}}{8}$)2得m1=$\frac{17}{8}$,m2=$\frac{47}{8}$>4(不和题意舍去),
解(m-4)2+(-2m+8)2=($\frac{8\sqrt{5}}{3}$)2,得m3=$\frac{4}{3}$,m=$\frac{20}{3}$>4(不和题意舍去),
∴点P的坐标为($\frac{17}{8}$,$\frac{15}{4}$)或($\frac{4}{3}$,$\frac{16}{3}$).
点评 本题是圆的综合题,考查了待定系数法求解析式,二次函数的性质,切线的性质,三角形相似的性质等,分类讨论思想的运用是解题的关键.
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A. | -5>0.1 | B. | 0>$\frac{1}{5}$ | C. | -5.1<-4.2 | D. | 0<$-\frac{1}{4}$ |
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